تصور کنید در خیابان قدم میزنید. هوا کمی سرد است، صدای ماشینها و همهمه آدمها در گوشتان میپیچد و تصمیم میگیرید با گوش دادن به موسیقی، چند دقیقهای از شلوغی شهر فاصله بگیرید. دستتان را داخل جیب میبرید تا هندزفری را بیرون بیاورید، همان هندزفری که صبح، مرتب و بدون حتی یک گره، داخل جیب گذاشته بودید. اما بهمحض بیرون آوردنش با صحنهای آشنا روبهرو میشوید: سیمها چنان در هم پیچیدهاند که انگار کسی ساعتها برای گره زدن آنها وقت گذاشته است! عجیبتر اینکه شما حتی یکبار هم دست به هندزفری نزدهاید.
به گزارش دیجیاتو، پس چه اتفاقی افتاده است؟ چطور ممکن است سیمی که مرتب داخل جیب گذاشتهایم، بدون دخالت ما گره بخورد؟ این سؤال ساده، دانشمندان را به انجام هزاران آزمایش کشاند و نتایجی به همراه داشت که از فیزیک و ریاضیات فراتر رفت و حتی به درک رفتار مولکول DNA کمک کرد.
معمای همیشگی جیب شلوار؛ چه کسی هندزفری را گره زد؟
صبح، هندزفری را مرتب جمع میکنید. شاید چند دور، دور انگشتانتان میپیچید یا سیم و گوشیها را کنار هم میگذارید و داخل جیب میاندازید. همهچیز مرتب است و خبری از گره نیست. اما از لحظهای که دستتان را از جیب بیرون میآورید، ماجرایی شروع میشود که از آن بیخبرید.
در طول روز راه میروید، مینشینید، از پله بالا میروید، خم میشوید و شاید چند قدم هم بدوید. ظاهراً هیچکدام از این کارها ارتباطی با گره زدن سیم ندارند. اما وقتی دوباره دستتان را داخل جیب میبرید، از آن هندزفری مرتب خبری نیست، سیمها چنان در هم پیچیدهاند که انگار کسی در نبود شما آنها را گره زده است. نخستین نکتهای که باید بدانیم این است که هندزفری برای گره خوردن به یک عامل هوشمند نیاز ندارد؛ حرکت، فضای محدود و وجود دو یا چند انتهای آزاد میتوانند برای آغاز این فرایند کافی باشند.
یک سیم هندزفری را روی میز بگذارید و به آن نگاه کنید. این سیم، برخلاف یک میله فلزی، نمیتواند شکل کاملاً ثابتی داشته باشد. با کوچکترین فشار خم میشود، حلقه تشکیل میدهد و میتواند از روی بخش دیگری از خودش عبور کند. حالا همین سیم را داخل جیب تصور کنید که با هر حرکت بدن تکان میخورد. فضای محدود جیب اجازه نمیدهد سیم آزادانه جابهجا شود؛ بخشی از آن به دیواره برخورد میکند، قسمتی روی خودش میافتد و انتهای آزادش از میان حلقههای ایجادشده عبور میکند.
این حرکتهای بهظاهر ساده، همان چیزی است که توجه فیزیکدانان را به خود جلب میکند. از نگاه علمی، هندزفری رشتهای انعطافپذیر در فضایی محدود است که برخوردها و جابهجاییهای پیدرپی، شکل آن را تغییر میدهند. برای تشکیل گره نیازی به حرکتهای پیچیده نیست، گاهی کافی است یکی از دو سر هندزفری از میان حلقهای عبور کند تا یک پیچخوردگی ساده به گره تبدیل شود.
اما چه شرایطی احتمال این اتفاق را بیشتر میکند و چرا بعضی سیمها راحتتر از بقیه گره میخورند؟ پاسخ این پرسشها را میتوان در آزمایشی پیدا کرد که شباهت زیادی به اتفاقات داخل جیب شلوار دارد.
آزمایشی که جیب شلوار را به آزمایشگاه برد!
در سال ۲۰۰۷، دوریان ریمر و داگلاس اسمیت، دو پژوهشگر دانشگاه کالیفرنیا، برای بررسی گره خوردن خودبهخودی سیمها آزمایش سادهای طراحی کردند. آنها رشتههایی با طول و انعطافپذیری متفاوت را داخل جعبهای شفاف قرار دادند، جعبه را با سرعت مشخصی چرخاندند و پس از توقف، وضعیت رشتهها را بررسی کردند. هدف این بود که ببینند حرکت، طول و انعطافپذیری چه تأثیری بر احتمال تشکیل گره دارند.
این فرایند در مجموع ۳۴۱۵ بار تکرار شد و پژوهشگران توانستند ۱۲۰ نوع گره متفاوت را شناسایی کنند. بعضی از این گرهها ساختار پیچیدهای داشتند، اما برای تشکیل آنها زمان زیادی لازم نبود. در شرایط مشخص آزمایش، تنها ده ثانیه چرخش جعبه برای گره خوردن رشتهها کافی بود.
حالا به هندزفری داخل جیب برگردیم. با هر قدم، جیب شلوار تکان میخورد و سیم در فضای محدود آن جابهجا میشود. بخشهای مختلف سیم با یکدیگر و با پارچه جیب برخورد میکنند؛ بعضی حلقهها باز میشوند، حلقههای تازهای شکل میگیرند و دو سر هندزفری میان آنها حرکت میکنند. البته حرکت جیب دقیقاً مشابه چرخش جعبه آزمایشگاهی نیست، اما هر دو شرایطی فراهم میکنند که یک رشته انعطافپذیر، بر اثر حرکت در فضایی محدود، تغییر شکل دهد و گره بخورد.
آزمایشها نشان دادند که طول رشته نیز در این فرایند اهمیت دارد. در یکی از مجموعه آزمایشها، رشتههایی با طول ۴۶ سانتیمتر یا کمتر گره نخوردند، اما با افزایش طول تا حدود ۱٫۵ متر، احتمال گره خوردن بهسرعت افزایش پیدا کرد. بااینحال، افزایش طول همیشه به معنای افزایش احتمال گره خوردن نبود. وقتی طول رشته از ۱٫۵ متر به ۶ متر رسید، احتمال تشکیل گره تقریباً در محدوده ۵۰ درصد باقی ماند.
دلیل این رفتار را باید در محدودیت فضا جستوجو کرد. رشته بلندتر میتواند حلقههای بیشتری تشکیل دهد، اما وقتی در جعبه فشرده میشود، بخشهای مختلف آن ممکن است به یکدیگر و دیوارهها گیر کنند و آزادی حرکتشان کاهش یابد. در چنین شرایطی، بلندتر شدن رشته لزوماً فرصت بیشتری برای تشکیل گره ایجاد نمیکند.
بنابراین، احتمال گره خوردن تنها به طول سیم بستگی ندارد، میزان انعطافپذیری، مدت و نوع حرکت و فضای در دسترس نیز در آن نقش دارند. اما این آزمایشها پرسش مهمتری را پیش میکشند: حرکتهای نامنظم سیم چگونه درنهایت باعث تشکیل یک گره میشوند؟
وقتی فیزیک وارد جیب میشود؛ سه حرکت تا تولد یک گره
برای اینکه بدانید گره چگونه تشکیل میشود، دوباره هندزفری را داخل جیب تصور کنید. در ابتدا سیم تقریباً مرتب است، اما با حرکت بدن، بخشهای مختلف آن جابهجا میشوند و حلقههایی کوچک و بزرگ میسازند. شاید یک حلقه نزدیک گوشی هندزفری ایجاد شود و حلقهای دیگر در قسمت میانی سیم شکل بگیرد. حالا کافی است فیش اتصال هندزفری بر اثر حرکت، از میان یکی از این حلقهها عبور کند. با ادامه حرکت سیم، حلقه تنگتر میشود و گره شکل میگیرد.
پژوهشگران این فرایند را به بافتن مو تشبیه میکنند. همانطور که هنگام بافتن، رشتههای مو از روی یکدیگر و از زیر هم عبور میکنند، در هندزفری نیز حرکت فیش یا گوشیها از میان حلقههای سیم میتواند سبب تشکیل گره شود. با هر با تکرار این عبورها، مسیر سیم پیچیدهتر میشود و گرههای متفاوتی شکل میگیرند.
در هندزفریهای دوشاخه، ماجرا کمی پیچیدهتر است. دو سیمی که به گوشیهای راست و چپ میرسند، ممکن است دور یکدیگر بپیچند یا از میان حلقههای هم عبور کنند. بهاینترتیب، آنچه در ابتدا تنها چند پیچخوردگی ساده است، میتواند به مجموعهای از گرههای درهمتنیده تبدیل شود.
اما چرا گره پس از تشکیل، خودبهخود باز نمیشود؟ بخشی از پاسخ به اصطکاک مربوط است. وقتی قسمتهای مختلف سیم روی یکدیگر قرار میگیرند، اصطکاک میان آنها در برابر لغزش مقاومت میکند. اگر سیم را بکشید، ممکن است حلقهها تنگتر شوند و فشار میان بخشهای درگیر افزایش یابد. بههمیندلیل، تلاش عجولانه برای بیرون کشیدن هندزفری گاهی گره را محکمتر میکند.
البته همه گرهها ساختار یکسانی ندارند. دو هندزفری گرهخورده ممکن است در ظاهر شبیه هم باشند، اما سیمهایشان مسیرهای کاملاً متفاوتی را طی کرده باشند. تشخیص این تفاوتها موضوع شاخهای از ریاضیات به نام نظریه گرهها است؛ دانشی که نشان میدهد پشت این پیچخوردگیهای بهظاهر ساده، چه ساختارهای پیچیدهای پنهان شدهاند.
نظریه گرهها؛ ریاضیات پنهان پشت سیمهای درهمپیچیده
هندزفری گرهخورده را روی میز بگذارید و به سیمهای درهمپیچیدهاش نگاه کنید. شاید در چند نقطه از روی یکدیگر عبور کرده باشند، آیا میتوان از روی تعداد این تقاطعها فهمید چند گره در سیم وجود دارد؟ لزوماً نه. گاهی چند گرهای که جدا از هم بهنظر میرسند، در واقع بخشهایی از یک گره پیچیدهاند؛ درمقابل، ممکن است سیم بارها دور خودش پیچیده باشد، اما هیچ گره واقعی در آن وجود نداشته باشد.
تشخیص این تفاوتها موضوع شاخهای از ریاضیات بهنام «نظریه گرهها» (Knot Theory) است. ریاضیدانان برای بررسی دقیق گرهها، دو سر یک رشته را به یکدیگر متصل میکنند تا حلقهای بسته تشکیل شود. دلیلش این است که در یک رشته با دو سر آزاد، همیشه میتوان با عبور دادن سر رشته از میان حلقهها، گره را باز کرد. اما وقتی دو سر بههم متصل باشند، دیگر نمیتوان ساختار اصلی گره را بدون بریدن رشته یا عبور دادن آن از درون خودش تغییر داد.
در نظریه گرهها، سادهترین حالت، حلقهای بدون گره است که «ناگره» (Unknot) نام دارد. پس از آن، سادهترین گره واقعی، گره سهبرگه (Trefoil) است که در سادهترین نمایش خود، سه تقاطع دارد. گره هشتشکل نیز با حداقل چهار تقاطع شناخته میشود. با افزایش تعداد تقاطعها، انواع گرهها بهسرعت بیشتر میشوند و به سختی میتوانیم آنها را از یکدیگر تشخیص دهیم.
نکته جالب اینجاست که ظاهر گره همیشه ساختار واقعی آن را نشان نمیدهد. ممکن است دو گره کاملاً متفاوت بهنظر برسند، اما بتوان با جابهجا کردن قسمتهای مختلف رشته، بدون بریدن یا باز کردن آن، یکی را به شکل دیگری درآورد. از نظر ریاضی، این دو در واقع یک نوع گره هستند. برعکس، گرههایی که در نگاه اول شبیه هم بهنظر میرسند، ممکن است ساختارهای متفاوتی داشته باشند.
برای شناسایی گرههای تشکیلشده در آزمایش جعبه چرخان سال ۲۰۰۷، دوریان ریمر و داگلاس اسمیت از محاسبات کامپیوتری کمک گرفتند. آنها از رشتههای گرهخورده عکس میگرفتند و با بررسی مسیر رشته و نحوه عبور بخشهای مختلف آن از روی یکدیگر، نوع هر گره را مشخص میکردند.
نتایج نشان دادند که بیشتر گرههای شناساییشده از نوع «گره اول» (Prime Knot) هستند؛ یعنی نمیتوان آنها را به ترکیبی از چند گره سادهتر تجزیه کرد. به بیان دیگر، رشتهها اغلب بهجای تشکیل چند گره مستقل، ساختاری واحد و پیچیده بهوجود میآوردند.
پس وقتی هندزفری را از جیب بیرون میآورید، ممکن است پشت آن ظاهر نامرتب، گرهای با ساختار ریاضی مشخص پنهان شده باشد. البته هر سیم درهمپیچیدهای لزوماً گره نخورده است، گاهی چند حلقه فقط روی هم افتادهاند و با جدا کردنشان، سیم به حالت اولیه برمیگردد.
زمان، طول و احتمال؛ چرا گرهها همیشه برنده نیستند؟
اگر گره خوردن هندزفری نتیجه حرکتهای تصادفی است، چرا گاهی ساعتها داخل جیب میماند و سالم بیرون میآید، اما روز دیگر پس از چند دقیقه بهشدت گره میخورد؟ پاسخ این سؤال به علم احتمال برمیگردد. با هر حرکت بدن، سیم ممکن است حلقهای تازه بسازد، از میان حلقهای دیگر عبور کند یا حتی یکی از گرههای قبلی ان باز شود. بنابراین، هر تکان لزوماً باعث تشکیل گره نمیشود.
بررسیهای علمی درباره رشتههای متحرک نیز همین موضوع را تأیید میکنند. در آزمایشهایی که سال ۲۰۲۱ انجام شدند، رشتههایی با طولهای متفاوت در فضایی محدود به حرکت درآمدند تا مشخص شود گذشت زمان چه تأثیری بر احتمال و پیچیدگی گرهها دارد. نتایج نشان دادند که احتمال گره خوردن طی حدود ۱۰۰ ثانیه افزایش پیدا میکند و سپس، در شرایط آزمایش، به مقداری کمتر از ۸۰ درصد نزدیک میشود. نکته جالب این بود که حتی پس از ثابت شدن تقریبی احتمال گره خوردن، پیچیدگی گرهها همچنان افزایش مییافت و در رشتههای بلندتر، گرههایی با حدود ۵۰ تقاطع نیز مشاهده شد.
اما چرا افزایش مدت حرکت، الزاماً به گره خوردن تمام رشتهها منجر نمیشود؟ چون گرهها همانطور که تشکیل میشوند، ممکن است دوباره باز شوند. آزمایشهای دیگری روی زنجیرهای ساچمهای لرزان نشان میدهند که احتمال مشاهده یک گره، به تعادل میان سرعت تشکیل و باز شدن آن بستگی دارد. اگر گرهها سریعتر تشکیل شوند و مدت بیشتری باقی بمانند، احتمال مشاهده آنها افزایش پیدا میکند. در مقابل، اگر بر اثر حرکت از انتهای زنجیر خارج شوند، احتمال گرهخوردگی کاهش مییابد.
طول سیم نیز در تشکیل و ماندگاری گره نقش دارد. سیم بلندتر میتواند حلقههای بیشتری بسازد و احتمال عبور سر سیم از میان آنها را افزایش دهد. از سوی دیگر، گره ایجادشده روی یک سیم بلند، برای باز شدن باید مسیر بیشتری را تا انتهای سیم طی کند. آزمایشهای انجامشده روی زنجیرهای لرزان نیز نشان میدهند که با افزایش طول زنجیر، گرهها مدت بیشتری باقی میمانند.
البته همانطور که گفتیم طول سیم تنها عامل تعیینکننده نیست. میزان انعطافپذیری و فضای در دسترس نیز بر این فرایند تأثیر دارند. سیمهای انعطافپذیر راحتتر خم میشوند و حلقه تشکیل میدهند، درحالیکه سیمهای سفتتر در برابر خم شدن مقاومت بیشتری دارند. بااینحال، اگر رشتهای بلند و نسبتاً سفت در فضای کوچکی فشرده شود، ممکن است به دیوارهها گیر کند و آزادی حرکتش کاهش یابد، اتفاقی که میتواند احتمال تشکیل گره را کمتر کند.
بنابراین، نمیتوان با یک قاعده ساده پیشبینی کرد که کدام هندزفری بیشتر گره میخورد. طول سیم، انعطافپذیری، مدت و نوع حرکت و فضای جیب، همگی در نتیجه نقش دارند.
آنتروپی تا DNA؛ چرا این داستان فقط درباره هندزفری نیست؟
تا اینجا فهمیدیم حرکت، طول، انعطافپذیری و وجود انتهای آزاد چگونه میتوانند باعث گره خوردن هندزفری شوند. اما چرا هندزفری خودش گره میخورد، ولی برای باز کردنش باید کلی وقت بگذاریم؟ برای فهمیدن این تفاوت، بد نیست با یکی از مفاهیم مهم فیزیک آشنا شویم: آنتروپی.
در فیزیک، آنتروپی با تعداد آرایشهای ممکنی که یک سیستم میتواند به خود بگیرد ارتباط دارد. بهعنوان مثال، سیم هندزفری را تصور کنید که صاف و مرتب روی میز قرار گرفته است. حالا آن را داخل جیب بیندازید. سیم میتواند به شکلهای مختلف خم شود، حلقه بسازد یا دور خودش بپیچد. تعداد آرایشهایی که در آنها سیم نامرتب است، بسیار بیشتر از حالتهای مرتب آن است.
هرچه یک وضعیت آرایشهای ممکن بیشتری داشته باشد، آنتروپی آن بالاتر است و در شرایطی که آرایشهای مختلف شانس وقوع تقریباً یکسانی دارند، احتمال قرار گرفتن سیستم در آن وضعیت نیز بیشتر میشود. بههمیندلیل، با حرکتهای تصادفی، احتمال اینکه سیم در یکی از حالتهای نامرتب قرار بگیرد، بیشتر از بازگشت آن به همان آرایش مرتب اولیه است. البته نامرتب شدن لزوماً به معنای گره خوردن نیست؛ تشکیل گره به نحوه حرکت سیم و عبور آن از میان حلقهها نیز بستگی دارد.
این تفاوت توضیح میدهد که چرا وقتی یک رشته انعطافپذیر آزادانه حرکت میکند، نباید انتظار داشته باشیم مرتب باقی بماند. بااینحال، باید مراقب یک برداشت اشتباه باشیم: قانون دوم ترمودینامیک بهتنهایی نمیگوید هندزفری حتماً باید گره بخورد. هر آرایش نامرتبی گره نیست و همه آرایشهای ممکن نیز احتمال یکسانی ندارند.
اما آنتروپی بهتنهایی توضیح نمیدهد که چرا هندزفری گره میخورد. برای این اتفاق، سیم باید به شکلی حرکت کند که یکی از دو سر آن از میان حلقهها عبور کند. بنابراین، نامرتب شدن سیم یک چیز است و گره خوردن آن چیز دیگر.
اهمیت این تمایز زمانی روشنتر میشود که بدانیم گره خوردن، پدیدهای محدود به سیم و نخ نیست. درون سلولهای زنده نیز رشتههای بسیار بلندی وجود دارند که میتوانند در فضای محدود خم شوند، روی خود قرار بگیرند و گره تشکیل دهند. یکی از مهمترین نمونهها DNA است.
مولکول DNA اطلاعات ژنتیکی موجودات زنده را در ساختاری رشتهای ذخیره میکند. این مولکول در مقیاس سلولی بسیار بلند است و باید در فضای کوچکی قرار بگیرد. در چنین شرایطی، نحوه خم شدن و آرایش فضایی آن اهمیت فراوانی دارد. پژوهشها نشان دادهاند که DNA در بعضی ویروسها میتواند گرههایی پیچیده تشکیل دهد. این گرهها حتی ممکن است بر سرعت خروج DNA از پوشش ویروس تأثیر بگذارند.
در سلولهای زنده، آنزیمهایی بهنام توپوایزومراز وجود دارند که با بریدن موقت DNA و اتصال دوباره آن، به باز شدن گرهها و رفع درهمپیچیدگیهای مولکولی کمک میکنند. درست همانطور که ما برای باز کردن هندزفری، باید سیم را از میان حلقهها بیرون بکشیم، سلولها نیز برای برطرف کردن گرههای DNA به سازوکاری نیاز دارند که مسیر رشتهها را تغییر دهد.
البته DNA و هندزفری از نظر اندازه و ویژگیهای فیزیکی تفاوت زیادی دارند، اما هر دو رشتههایی هستند که میتوانند در فضای محدود خم شوند، روی خودشان قرار بگیرند و گره بخورند. درنتیجه، بررسی گره خوردن رشتهها در آزمایشگاه میتواند به دانشمندان کمک کند تا بخشی از رفتار مولکولهای پیچیدهای مانند DNA را بهتر درک کنند.
پس گره خوردن هندزفری فقط یک دردسر روزمره نیست. بررسی همین پدیده به دانشمندان کمک میکند رفتار پلیمرها، ساختار پروتئینها و حتی گرههای DNA را بهتر بشناسند. اما حالا وقت آن است که از دنیای مولکولها به جیب شلوار برگردیم. با دانستن اینکه گرهها چگونه تشکیل میشوند، آیا میتوان راهی پیدا کرد که هندزفری دیگر گره نخورد؟
بازگشت به صحنه جرم؛ چگونه جیب را بیخطر کنیم؟
دوباره همان خیابان را تصور کنید. دستتان داخل جیب است و هندزفری گرهخورده را بیرون آوردهاید. اینبار، بهجای اینکه با عصبانیت دو طرف سیم را بکشید، به حلقهها نگاه میکنید. حالا میدانید که احتمالاً سیم بر اثر حرکت بدن خم شده و حلقهای ساخته، سپس فیش یا یکی از گوشیهای هندزفری از میان آن عبور کرده و گره شکل گرفته است.
برای باز کردن گره، ابتدا حلقهها را کمی شل کنید و مسیر سیم را دنبال کنید. کشیدن محکم آن نهتنها کمکی نمیکند، بلکه احتمال دارد گره را تنگتر کند. البته راه بهتر، پیشگیری از گره خوردن هندزفری است.
با توجه به آنچه در آزمایشهای علمی مشاهده شده، یکی از راهکارهای اصلی، محدود کردن حرکت نسبی قسمتهای مختلف سیم است. بهعنوان مثال، اگر هندزفری را بهصورت منظم جمع کنید و با یک نگهدارنده ثابت نگه دارید، احتمال عبور آزادانه انتهای سیم از میان حلقهها کمتر میشود. استفاده از محفظه کوچک و مناسب نیز میتواند حرکت سیم را محدود کند.
حالا دوباره هندزفری را داخل جیب میگذارید و به راهتان ادامه میدهید. چند دقیقه بعد، دست در جیب میبرید و اینبار سیم را بدون دردسر بیرون میآورید. قوانین فیزیک تغییری نکردهاند؛ فقط شرایط گره خوردن را محدود کردهاید.
موسیقی را پخش میکنید و قدم برمیدارید. حالا میدانید پشت این دردسر ساده، دنیایی از فیزیک، ریاضیات و احتمالات پنهان است. البته هندزفریهای بیسیم راه سادهتری پیش پای ما گذاشتهاند: حذف سیم و خلاص شدن از گرههایش! اما آیا با کنار گذاشتن سیمها، آخرین پرده از این معمای علمی هم برای همیشه بسته میشود، یا هنوز رازهای دیگری در جیبهایمان پنهان است؟